Čo je to exponenciálna distribúcia?
Exponenciálne rozdelenie sa týka spojitého a konštantného rozdelenia pravdepodobnosti, ktoré sa v skutočnosti používa na modelovanie časového obdobia, ktoré musí človek čakať, kým sa daná udalosť stane, a toto rozdelenie je kontinuálnym náprotivkom geometrického rozdelenia, ktoré je naopak zreteľné.
Vzorec exponenciálneho rozdelenia
O spojitej náhodnej premennej x (s parametrom mierky λ> 0) sa hovorí, že má exponenciálne rozdelenie, iba ak je možné vyjadriť jej funkciu hustoty pravdepodobnosti vynásobením parametra mierky exponenciálnou funkciou mínus parameter stupnice a x pre všetky x väčšie ako alebo rovná sa nule, inak je funkcia hustoty pravdepodobnosti rovná nule.
Matematicky je funkcia hustoty pravdepodobnosti znázornená ako,
taký, že priemer sa rovná 1 / λ a odchýlka sa rovná 1 / λ2.
Výpočet exponenciálneho rozdelenia (krok za krokom)
- Krok 1: Najskôr sa pokúste zistiť, či je posudzovaná udalosť kontinuálna a nezávislá a vyskytuje sa zhruba konštantnou rýchlosťou. Akákoľvek praktická udalosť zabezpečí, že premenná je väčšia alebo rovná nule.
- Krok 2: Ďalej určite hodnotu parametra mierky, ktorá je vždy prevrátenou hodnotou priemeru.
- λ = 1 / priemer
- Krok 3: Ďalej vynásobte parameter stupnice λ a premennú x a potom vypočítajte exponenciálnu funkciu súčinu vynásobenú mínus jedna, tj. E– λ * x.
- Krok 4: Nakoniec sa funkcia hustoty pravdepodobnosti vypočíta vynásobením exponenciálnej funkcie a parametra mierky.
Ak vyššie uvedený vzorec platí pre všetky x väčšie alebo rovné nule, potom x je exponenciálne rozdelenie.
Príklad
Túto šablónu programu Exponential Distribution Excel si môžete stiahnuť tu - šablónu programu Exponential Distribution Excel
Zoberme si príklad, x, čo je množstvo času, ktoré trvá (v minútach) kancelárskemu pílu, aby sa doručilo od stola manažéra k stolu pisára. Predpokladá sa, že funkcia času má exponenciálne rozdelenie s priemerným časom rovným päť minút.
Vzhľadom na to, že x je spojitá náhodná premenná, pretože sa meria čas.
Priemer, μ = 5 minút
Preto parameter stupnice, λ = 1 / μ = 1/5 = 0,20
Funkciu pravdepodobnosti exponenciálneho rozdelenia teda môžeme odvodiť ako,
f (x) = 0,20 e– 0,20 * x
Teraz vypočítajte pravdepodobnostnú funkciu pri rôznych hodnotách x, aby ste odvodili distribučnú krivku.
Pre x = 0
funkcia pravdepodobnosti exponenciálneho rozdelenia pre x = 0 bude,
Podobne vypočítajte funkciu pravdepodobnosti exponenciálneho rozdelenia pre x = 1 až x = 30
- Pre x = 0, f (0) = 0,20 e -0,20 * 0 = 0,200
- Pre x = 1, f (1) = 0,20 e -0,20 * 1 = 0,164
- Pre x = 2, f (2) = 0,20 e -0,20 * 2 = 0,134
- Pre x = 3, f (3) = 0,20 e -0,20 * 3 = 0,110
- Pre x = 4, f (4) = 0,20 e -0,20 * 4 = 0,090
- Pre x = 5, f (5) = 0,20 e -0,20 * 5 = 0,074
- Pre x = 6, f (6) = 0,20 e -0,20 * 6 = 0,060
- Pre x = 7, f (7) = 0,20 e -0,20 * 7 = 0,049
- Pre x = 8, f (8) = 0,20 e -0,20 * 8 = 0,040
- Pre x = 9, f (9) = 0,20 e -0,20 * 9 = 0,033
- Pre x = 10, f (10) = 0,20 e -0,20 * 10 = 0,027
- Pre x = 11, f (11) = 0,20 e -0,20 * 11 = 0,022
- Pre x = 12, f (12) = 0,20 e -0,20 * 12 = 0,018
- Pre x = 13, f (13) = 0,20 e -0,20 * 13 = 0,015
- Pre x = 14, f (14) = 0,20 e -0,20 * 14 = 0,012
- Pre x = 15, f (15) = 0,20 e -0,20 * 15 = 0,010
- Pre x = 16, f (16) = 0,20 e -0,20 * 16 = 0,008
- Pre x = 17, f (17) = 0,20 e -0,20 * 17 = 0,007
- Pre x = 18, f (18) = 0,20 e -0,20 * 18 = 0,005
- Pre x = 19, f (19) = 0,20 e -0,20 * 19 = 0,004
- Pre x = 20, f (20) = 0,20 e -0,20 * 20 = 0,004
- Pre x = 21, f (21) = 0,20 e -0,20 * 21 = 0,003
- Pre x = 22, f (22) = 0,20 e -0,20 * 22 = 0,002
- Pre x = 23, f (23) = 0,20 e -0,20 * 23 = 0,002
- Pre x = 24, f (24) = 0,20 e -0,20 * 24 = 0,002
- Pre x = 25, f (25) = 0,20 e -0,20 * 25 = 0,001
- Pre x = 26, f (26) = 0,20 e -0,20 * 26 = 0,001
- Pre x = 27, f (27) = 0,20 e -0,20 * 27 = 0,001
- Pre x = 28, f (28) = 0,20 e -0,20 * 28 = 0,001
- Pre x = 29, f (29) = 0,20 e -0,20 * 29 = 0,001
- Pre x = 30, f (30) = 0,20 e -0,20 * 30 = 0,000
Odvodili sme distribučnú krivku nasledovne,
Relevantnosť a použitie
Aj keď je predpoklad konštantnej rýchlosti v scenároch reálneho sveta veľmi zriedka uspokojený, ak je časový interval zvolený takým spôsobom, že rýchlosť je zhruba konštantná, potom možno ako dobrý približný model použiť exponenciálne rozdelenie. Má mnoho ďalších aplikácií v oblasti fyziky, hydrológie atď.
V štatistike a teórii pravdepodobnosti sa výraz exponenciálneho rozdelenia vzťahuje na rozdelenie pravdepodobnosti, ktoré sa používa na definovanie času medzi dvoma po sebe nasledujúcimi udalosťami, ktoré sa vyskytujú nezávisle a nepretržite konštantnou priemernou rýchlosťou. Je to jedno z často používaných spojitých distribúcií a úzko súvisí s Poissonovou distribúciou v programe Excel.